蛋圆曲线

拼音：dàn yuán qū xiàn

 正劈锥面被平面所截的交线投影即得平面蛋圆曲线，方程式为 x^2/a^2 + y^2 / (ky + b)^2 = 1, 绝对值k小于1.。

 定义

平面上至少有一条对称轴的卵形线是蛋圆。

劈锥曲线族

本文涉及的蛋圆属于劈锥曲线族，是四次方程曲线。在椭圆方程中，令a = b = r ，椭圆即成为特例——圆;而椭圆又是蛋圆的一种特例。

公式

设准线为椭圆的正劈锥面方程为 x^2 / a^2 + y^2 / z^2 = 1,其轴为 x 轴，准线为 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1，以平行于劈锥面轴的平面z = ky + b 去截正劈锥面，得交线为 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1

{ z = ky + b (2)，将(2)投影到 xOy 平面上，即得蛋圆标准方程(1。

仿椭圆参数方程，引入角参数 t ，蛋圆参数方程为

{ x = a cos t

y = b sin t / ( 1-k sin t) (∣k∣﹤1) (3)。

令(1)在三维直角坐标系中绕 y 轴旋转，得出旋转蛋球面方程：

蛋圆(1)的取值范围：a > 0, b > 0, ︱k︱< 1。

因为 k 是平面 ky + b 对于 zOx 坐标面的斜率，︱k︱﹥ 1时，平面在正劈锥面上不能截到封闭的卵形线，k = 0 时(1)成为特例——椭圆。b = 0 时(1)成为两条直线： —a ≤ x ≤ a ;

-b / (1 + k) ≤ y ≤ b / (1 - k)。

蛋圆(1)内线段：(1)与 x 轴两个交点的连接线段称“横径”，其长度记为 2r，横径被其中点所分成的两个线段称“对称半径”，其长度记为r ,r = a ;(1)以 y 轴为唯一对称轴，是偶函数，(1)与其对称轴的两个交点间的线段称“直径”，其长度记为 d ，

d = b / (1-k) - [-b/ (1 + k )] = 2b /(1-k^2);直径与横径的比值称圆度记为u，u = d / 2r = b / a(1-k^2)，当u = 1时蛋圆变为特例——圆，当u → 0 时蛋圆越来越矮胖，当u →∞时蛋圆越来越瘦长。

由于蛋圆(1)是已知唯一的三参数蛋圆曲线，调节a、b、k三个参数比例，可以无限逼近符合定义的任何蛋圆，包括获得比椭圆方程式更精确地逼近真实的地球外形方程式。

(方程式为：(x^2 + z^2) /16 + y^2/(0.2y +5)^2= 1)